En 1946 el matemático húngaro Paul Erdős formuló una pregunta aparentemente muy sencilla: si colocas n puntos en el plano, ¿cuántos pares de puntos pueden estar exactamente a distancia 1 entre sí? Este dilema se conoce como problema de la distancia unitaria en el plano, y ha mantenido a muchos matemáticos que investigan en el ámbito de la geometría enfrascados en su resolución durante nada menos que ochenta años.
La estrategia clásica propuesta por muchos de ellos para intentar resolverlo consistía en recurrir a una cuadrícula cuadrada. No tardaron en darse cuenta de que el número de pares a distancia unitaria crece al menos como n elevado a (1 + C/loglog(n)), donde C es una constante positiva que cuantifica en qué medida una construcción concreta puede ser mejor que una cuadrícula cuadrada básica. Es una idea complicada, es verdad, pero podemos intentar acercarnos a ella de una forma un poco más intuitiva.
Una cuadrícula cuadrada estándar produce aproximadamente 2n pares de puntos a distancia unitaria. Si la reescalamos de una forma ingeniosa eligiendo el factor de escala como un número que tenga muchos divisores (en teoría de números esta propiedad se conoce como un número con muchos factores primos pequeños), consigues que más pares de puntos caigan exactamente a distancia 1. El valor de C mide precisamente la eficiencia de esa elección. Esta es la clave.
Una IA de OpenAI ha logrado el primer avance importante en 80 años
Como estamos comprobando, la pregunta que formuló Erdős es muy fácil de enunciar, pero extraordinariamente difícil de resolver. Si desarrollamos un poco más el planteamiento clásico nos daremos cuenta de que como loglog(n) crece muy lentamente, el exponente se aproxima a 0. Esto significa que la cuadrícula cuadrada crece solo ligeramente más rápido que n, pero no lo suficiente para superar n a un ritmo fijo.
Este es el motivo por el que durante décadas los matemáticos predijeron que la cota superior sería aproximadamente n^(1+o(1)), es decir, apenas algo mayor que n. Ahora sabemos que se equivocaron, y quien ha refutado esta conjetura no ha sido un matemático actual especialmente habilidoso; este hito se lo ha apuntado un modelo de inferencia de uso general que OpenAI estaba probando internamente. Y no una inteligencia artificial (IA) especializada en matemáticas.
Este modelo ha proporcionado una familia infinita de ejemplos que producen una mejora polinómica. De hecho, ha demostrado que es posible construir configuraciones de puntos con al menos n^(1+δ) pares a distancia unitaria, donde δ es un valor fijo mayor que 0 que no desaparece a medida que n crece. Cuando la IA entregó este resultado, los investigadores de OpenAI pidieron a un grupo de matemáticos de Princeton que lo revisase. Y su conclusión fue tajante.